SLAM(Simultaneous localization and mapping) - Kalman Filter second
동시적 위치추정 및 지도작성과 칼만 필터 두 번째
이제 우리는 SLAM(Simultaneous localization and mapping)과 칼만 필터를 통해서 2차원 에서 운동하는 등속 모델의 물체에 대한 추적을 할 수 있게 되었다. 그런데 궁금한 것이 있다. 관측 행렬 \(\mathbf{H}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]\)에서 알 수 있는 것처럼 측정할 수 있는 값은 위치 뿐이고, 속도에 대한 정보를 입력해 준 적은 없는데, 상태 벡터를 관찰해보면 속도에 대한 값이 생성되고 있다. 왜 그럴까? 공분산 행렬 \(\mathbf{P}\)을 살펴보면 예측 과정에서는 행렬의 대각 성분, 다시 말하면 각 위치와 각 속도 스스로의 항에 더해지지만, 갱신하는 과정에서 대각 성분이 아닌 곳에 연관성(correlation)이 발생하기 때문이다. 그러므로 칼만 필터는 위치에 대한 정보만 입력 받아도 상태 천이 행렬로부터 적절한 속도를 갱신하도록 한다고 생각해 볼 수 있다.
그러면 마찬가지로 입력 받지 않은 다른 측정 값에 대해서도 갱신하는 것이 가능하지 않을까? 그렇다. SLAM의 기본 개념은 측정된 값을 이용해서 측정 되지 않은 다른 값들을 갱신하는 것이다. 현재 위치에서 측정할 수 있는 랜드 마크는 센서의 시야각과 거리의 한계로 제한이 있을 수 밖에 없다. 한정된 측정값을 이용해서 다른 상태 벡터의 값들을 좀 더 신뢰할 수 있는 값으로 갱신하는 것이다.
아래 그림을 보면, 움직이는 로봇이 측정할 수 있는 랜드 마크의 숫자가 한정적인 경우에도 하나의 상태 벡터를 포함하고 있는 상태에서는 모든 랜드 마크와 로봇의 위치에 대한 신뢰도가 향상되는 것을 볼 수 있다. 로봇과 랜드 마크의 타원은 공분산 행렬(Covariance matrix)에 비례하여 그려진 것이므로 해당 항목의 불확실성(Uncertainty)을 의미하는 것으로 생각할 수 있다.
이미지 원본: Andrew Davison의 박사 학위 논문
이렇게 로봇의 상태와 랜드 마크의 좌표가 하나로 합쳐진(Augmented) 상태 벡터를 사용하는 방법은 관측 범위의 제약으로 한정된 관측이 수행되는 경우에 유용하지만, 태생적으로 차원의 저주(Curse of dimensionality) 문제를 갖고 있다.
추정하고자 하는 로봇 좌표계의 차원과 특징점의 차원이 모두 하나의 상태 벡터에 포함되므로 특징점의 개수가 증가함에 따라서, 공분산 행렬 \( \mathbf{P} \)의 크기가 \( 2^d \)에 비례하여 증가하기 때문이다.
SLAM(Simultaneous localization and mapping) - Kalman Filter
동시적 위치추정 및 지도작성과 칼만 필터
국문으로 번역된 이름이 마음에 들지 않지만, 마땅히 다르게 번역할 방법이 없어서 기존에 사용되던 것들 중에서 차용하였습니다.
제목에서 느낄 수 있는 것처럼 이동 로봇이 미지의 세계를 방문할 때 자신의 위치추정과 지도작성을 동시에 수행하는 것을 말한다. 동시적이라고 하면 시간의 흐름상 완전한 동시성을 의미하는 것처럼 느껴지기 때문에 사실은 일관된, 연관된 정도로 번역하는 것이 자연스럽다고 생각된다.
칼만 필터를 이용한 이동 로봇의 SLAM에 대해서 먼저 기술하고 다음으로 다른 종류의 필터(EKF, UKF, Particle Filter)에 대해 적어볼 예정입니다.
위치 추정과 지도 작성은 동시에 진행하는 것이 타당하다. 위치를 인식하기 위해서는 지도가 정확해야 하는데, 지도의 정확성은 위치의 정확성에 의존하기 때문이다. SLAM이 어려운 이유는 그림에서 보는 것처럼 예측할 수 없는 요소들이 많기 때문이다.
왜 SLAM은 어려운 문제인가?
세상엔 정확한 센서는 존재하지 않기 때문에 항상 노이즈를 포함하고 있다. 정확한 센서 하나만 있었더라도 이렇게 힘들게 고민할 이유가 없었을 것이다.
위의 그림을 조건부 확률식으로 적어보면 아래와 같다.
조건부 확률식으로 전개한 SLAM 문제
상태 벡터 \( \mathbf{x}_{k-1} \)에서 \( \mathbf{x}_{k} \)로 이동하는 로봇이 \( \mathbf{m}_{i}, \mathbf{m}_{j}\) 랜드 마크를 관측한 값이 측정치 \( \mathbf{z}_{k,j}\) 로 입력된다. \( \mathbf{u}_k \)는 현재 로봇의 조종 명령이다.
조건부 확률 식을 말로 풀이하면 " \( \mathbf{z}_{1:t}, \mathbf{u}_{1:t} \)가 만족 되는 경우에 즉, 최초 시점 1에서 현재 시점 \( t \)까지의 관측 값과 조종 명령이 주어질 때, 현재 위치를 의미하는 상태 벡터 \( \mathbf{x}_t \)와 지도를 의미하는 \( \mathbf{m} \)이 어떤 확률 분포를 가지는가?" 로 서술할 수 있다.
확률은 그 합이 '1'이 되어야 하기 때문에 조건이 주어지지 않은 경우의 현재 상태와 지도에 대한 확률과 합하면 조건부 확률 값은 '1'이 된다. 위와 같은 조건부 확률 식으로 전개해 두고 나면 앞서 기술한 베이지안 추정 방법이나 마르코프 위치 인식 방법을 사용할 수 있게 되므로 매우 유리한 점이 생긴다.
상태 천이 행렬이 선형(Linearity: Homogeneity와 superposition을 만족)인 경우에 적용할 수 있다. 선형 상태 천이를 한다는 것은 상태 천이 함수가 선형이라는 말이며 등속, 등가속 운동처럼 이후의 운동의 예측할 수 있는 경우를 말한다.
그림에서 상태 천이 함수는 \( A \) 행렬이다. 등속 모델인 경우엔 \( \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \), 상태 벡터는 \(\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right] \) 로 설정하면 2차원 좌표에서 등속으로 운동하는 물체에 대한 칼만 필터의 추정식이 완성된다. 실제 시스템 모델이 맞도록 공정 잡음과 측정 잡음을 설정하면 된다.
간단하게 몇 줄의 코드 만으로도 칼만 필터는 훌륭하게 동작합니다. 아래에 2차원에서 움직이는 물체에 대한 칼만 필터 예제를 게시합니다.
어디를 가고 있는가?라는 문제를 해석하기 위해서는 반드시 자기 위치 인식이 필요하다. 이동 로봇의 플랫폼에 장착되어 있을 거리 센서와 영상 정보들은 최초 설정된 글로벌 좌표가 아닌 현재 구동중인 위치를 기준으로 결과를 얻을 수 있기 때문이다.
\(x_t\)에서 취득한 센서 정보는 \(x_t\)좌표에 대한 것이며, 글로벌 좌표 \(X_g, Y_g\)로 변환해야 하나의 지도에서 관측량을 정의할 수 있다. 불운하게도, 이 과정에서 로봇의 이동 변위에 대한 오차 때문에 정확한 위치에 기입하지 못하는 경우가 생길 수 있다.(이 부분은 Dead reckoning이 가지고 있는 치명적인 단점이다. 관성항법에서도 비슷한 문제를 경험할 수 있는데, 절대 위치를 보정할 수 있는 GPS가 있기 때문에 다행이 특수한 경우가 아니면 큰 문제가 발생하지 않는다.)
더욱이, 초기에 로봇의 위치를 측정하는 기준은 고가의 센서가 아니라 바퀴에 달린 엔코더에 의존하는 경우가 많았고, 센서의 정확도도 현재보다 더욱 부정확했기 때문에 다시 한 번 확률 기반의 지도 작성 방법이 제안되었다.
환경 지도를 작성하는 방법론의 관점에서 크게
위상 지도(Topological mapping)
격자 지도(Metric mapping)
로 분류하여 볼 수 있는데, 위상 지도는 에지와 노드로 구성된 그래프로 중요한 지점과 그 연결정를 가지고 있는 형태의 지도를 말한다. 반대로 격자 지도는 일반적으로 3차원 공간을 2차원 평면에 투영한 형태의 지도를 말한다. Metric이란 수식어에서 알 수 있는 것처럼 각 지점 간의 거리를 스케일로부터 얻을 수 있다.
