SLAM(Simultaneous localization and mapping)과 칼만 필터 두 번째

SLAM(Simultaneous localization and mapping) - Kalman Filter second

동시적 위치추정 및 지도작성과 칼만 필터 두 번째

 이제 우리는 SLAM(Simultaneous localization and mapping)과 칼만 필터를 통해서 2차원 에서 운동하는 등속 모델의 물체에 대한 추적을 할 수 있게 되었다. 그런데 궁금한 것이 있다. 관측 행렬 \(\mathbf{H}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]\)에서 알 수 있는 것처럼 측정할 수 있는 값은 위치 뿐이고, 속도에 대한 정보를 입력해 준 적은 없는데, 상태 벡터를 관찰해보면 속도에 대한 값이 생성되고 있다. 왜 그럴까? 공분산 행렬 \(\mathbf{P}\)을 살펴보면 예측 과정에서는 행렬의 대각 성분, 다시 말하면 각 위치와 각 속도 스스로의 항에 더해지지만, 갱신하는 과정에서 대각 성분이 아닌  곳에 연관성(correlation)이 발생하기 때문이다. 그러므로 칼만 필터는 위치에 대한 정보만 입력 받아도 상태 천이 행렬로부터 적절한 속도를 갱신하도록 한다고 생각해 볼 수 있다.

 그러면 마찬가지로 입력 받지 않은 다른 측정 값에 대해서도 갱신하는 것이 가능하지 않을까? 그렇다. SLAM의 기본 개념은 측정된 값을 이용해서 측정 되지 않은 다른 값들을 갱신하는 것이다. 현재 위치에서 측정할 수 있는 랜드 마크는 센서의 시야각과 거리의 한계로 제한이 있을 수 밖에 없다. 한정된 측정값을 이용해서 다른 상태 벡터의 값들을 좀 더 신뢰할 수 있는 값으로 갱신하는 것이다.

 아래 그림을 보면, 움직이는 로봇이 측정할 수 있는 랜드 마크의 숫자가 한정적인 경우에도 하나의 상태 벡터를 포함하고 있는 상태에서는 모든 랜드 마크와 로봇의 위치에 대한 신뢰도가 향상되는 것을 볼 수 있다. 로봇과 랜드 마크의 타원은 공분산 행렬(Covariance matrix)에 비례하여 그려진 것이므로 해당 항목의 불확실성(Uncertainty)을 의미하는 것으로 생각할 수 있다.

이미지 원본: Andrew Davison의 박사 학위 논문

 이렇게 로봇의 상태와 랜드 마크의 좌표가 하나로 합쳐진(Augmented) 상태 벡터를 사용하는 방법은 관측 범위의 제약으로 한정된 관측이 수행되는 경우에 유용하지만, 태생적으로 차원의 저주(Curse of dimensionality) 문제를 갖고 있다.

 추정하고자 하는 로봇 좌표계의 차원과 특징점의 차원이 모두 하나의 상태 벡터에 포함되므로 특징점의 개수가 증가함에 따라서, 공분산 행렬 \( \mathbf{P} \)의 크기가 \( 2^d \)에 비례하여 증가하기 때문이다.