이동 로봇을 위한 칼만 필터

이동 로봇을 위한 칼만 필터

Kalman Filter for a mobile robot

 EBS 다큐멘터리 '자본주의란 무엇인가?'에서 세계적인 석학들에게 '자본주의란?' 명제에 대해 답변해주기를 요청하는 장면에서 모두 머리를 절래절래 흔드는 장면이 나온다.

 마찬가지의 관점에서 공학자로서 칼만 필터에 대해 기술한다는 것은 굉장히 괴로운 일이다. 깊은 통찰이 담겨있는 근본적인 원리이기 때문이다. 이미 인터넷을 검색하면 무수히 많은 튜토리얼과 활용예가 있음에도 불구하고 굳이 다시 한 번 거론하는 이유는 본 블로그에 게시된 글들과의 연관성을 위해서 SLAM과 관련된 내용을 게시하기 이전에 필요하기 때문이다.

 베이지안 추정 필터와 관련된 글을 먼저 확인 바랍니다.

 칼만 필터를 이동 로봇에 적용하는 것이 적합하다고 생각되는 이유는 물리적인 특성을 유지하는 물체이기 때문이다. 다시 말하면 뉴턴의 운동 법칙을 위배하는 물체는 이 세상에 없기 때문에 (빛보다 충분히 느린 물체의 경우에) 이동 로봇은 물론이고, 잠수정, 비행체를 포함한 모든 물체는 일정한 패턴을 가지고 움직인다. 갑자기 서울에서 있던 물체가 부산에 나타날 수는 없다는 것이다. 혹자는 금융에 칼만 필터를 적용하려는 시도를 하는 경우가 있는데, 본인이 생각하기엔 불가능하다. 왜냐하면 금융은 모델 자체가 갖는 특성이 물리적인 의미가 없는 경우가 많기 때문이다. (수 많은 파생상품은 투자 대상 조차도 형태가 없는 경우가 있다.)

 아래의 글은 칼만 필터의 예측과 갱신과정에 대해서 이해하고 있는 독자를 대상으로 합니다. 칼만 필터의 기본적인 개념은 위키 백과의 글을 참고하시기 바랍니다.

 칼만 필터가 실제로 좋은 방향으로 상태를 예측할 수 있는지는 다음 칼만 게인이 의미하는 바를 해석함으로써 알 수 있다.

Kalman gain

 그림에서 보인 수식은 칼만 게인이 갱신 과정에서 어떤 역할을 수행하는지 해석한 것이다. 칼만 게인은 공정 잡음으로부터 발생된 오차 공분산 행렬 값 \(P_k^-\)과 측정 잡음 행렬 \(R_k\)와 관련이 있다. 측정 잡음이 '0'으로 수렴하면 칼만 게인은 \(H^{-1}\)가 되므로 상태 벡터의 갱신 값은 측정치를 따르게 된다. 반대로 오차 공분산 행렬 \(P_k^-\) 값이 '0'으로 수렴하게 되면 칼만 게인은 '0'이 되어 상태 벡터의 예측치를 따르게 된다.

 이처럼 칼만 게인은 알고 있는(또는 알고 있다고 믿는) 공정 잡음과 측정 잡음 예측치와 측정치 중에서 현재 상태에 가장 최적의 값을 추론한다.

 이를 이용한 위치 추정과 지도 작성에 관한 문제는 SLAM이라는 제목으로 다시 게재할 예정이므로 칼만 필터에 관해서는 여기에서 줄인다.